Catalan 数模素数无禁余类

设 $C_n$ 为第 $n$ 个 Catalan 数。对于任意素数 $p \geq 5$，我们证明集合 $\{C_n : n \in \mathbb{N} \}$ 包含模 $p$ 的所有剩余类。此外，所有剩余类均无穷多次达到。任意正整数均可表示为模 $p$ 的中心二项式系数之积。用于 $C_n \mod p$ 的自动机的有向子图由常状态及它们之间的转移构成，该子图具有一个遍历所有顶点的圈。