卡塔尔数与 Kac 模块最大组成长度猜想

设 $f:\mathbb{Z}\longrightarrow \{ \times \cdot\}$ 为一个函数，使得 $f(a) = \cdot$ 对除有限多个 $a \in \mathbb{Z}$ 外的所有 $a$ 均成立。我们定义一个由满足由 $f$ 决定的特定条件的非相交弧（或帽）图谱组成的集合 $\flat f$。然后我们给出一种枚举 $\flat f$ 的递归方法，其类似于卡塔尔数的基本递推式。动机来源于对 Kac 模块中组成因子枚举的难题，这是针对 Lie 超代数 $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(r|r)$ 的最大典型度的模块。特别是，我们证明了一个关于最大组成因子数的猜想，即该数为卡塔尔数。