多项式定义的乘法函数族在剩余类中的联合分布

我们研究了乘法函数族在模数均匀变化于广泛范围内的互素剩余类中的分布，获得了针对大类乘法函数的 Siegel--Walfisz 定理类比结果。我们扩展了 Narkiewicz 关于可由前几个素数幂处的多项式值控制的乘法函数族的判别准则，并建立了在模数上完全一致且在大多数参数和假设下最优的结果。这也显著推广并改进了先前在特定设定下针对单个此类函数的工作。我们的结果适用于大多数有趣的乘法函数，如 Euler 函数 $\phi(n)$、除数和函数 $\sigma(n)$、Eisenstein 级数的系数等及其函数族。例如，我们结果的一个应用表明，对于任意固定的 $\epsilon>0$，函数 $\phi(n)$ 和 $\sigma(n)$ 在与 $6$ 互素且均匀变化至 $(\log x)^{(1-\epsilon)\alpha(q)}$ 的模数 $q$ 的既约剩余类中是联合渐近均匀分布的，其中 $\alpha(q) = \prod_{\ell \mid q} (\ell-3)/(\ell-1)$；此外，互素限制是必要的，且 $q$ 的范围本质上是最佳的。我们论证背后的主要主题之一是通过属于“整数解剖学”的方法定量检测乘法群中的某种混合（或遍历性）现象，但我们也 heavily 依赖更纯粹的解析论证（如 Landau-Selberg-Delange 方法的适当修正），同时使用了来自算术与代数几何以及环上线性代数的多种工具。