欧拉级数、zeta 函数与分拆的算术

在本博士论文（2018 年，埃默里大学）中，我们在数论加法与乘法分支的交叉处证明定理，汇集来自分拆理论、$q$-级数、代数、模形式与分析数论的思想。我们提出一种自然的整数分拆乘法理论（分拆通常按加法考量），并探索新型分拆论 zeta 函数与 Dirichlet 级数——以及具有诸多有趣关系的“欧拉”$q$-超几何级数。我们发现若干经典数论与分析定理作为极一般组合结构律的特例出现。在我们的应用中，我们证明 Bloch-Okounkov 的 $q$-括号系数的显式公式，这是一个与准模形式相关的来自统计物理的分拆论算子；我们证明某些整数子集算术密度的分拆公式，给出求 Riemann zeta 函数的 $q$-级数公式；我们研究与量子模形式及 Kontsevich 的“奇异”函数相关的 $q$-超几何级数；并展示 Ramanujan 奇阶 mock theta 函数（更一般地，Gordon-McIntosh 的普适 mock theta 函数 $g_3$）如何经由 $q$-括号算子从 Jacobi 三重积的倒数产生，亦联系于组合学中的单峰序列与量子模形式类现象。