关于 q-级数与模形式的系数

在本博士论文（弗吉尼亚大学，2022）中，我们证明了关于分拆理论生成函数系数与整数权模形式系数的结果。利用圆法的各种形式，我们证明了分拆统计量模 $t$ 剩余类分布的结果。例如，我们证明不同部分分拆的部分模 $t$ 等分布（但仍出现某些偏置），且分拆中 $t$-钩数一般模素数不等分布。我们还利用模变换律得到 $t$-钩计数函数的精确公式。我们也采用圆法证明 Coll、Mayers 与 Mayers 的猜想：q-级数 $(q, -q^3; q^4)_\infty^{-1}$ 具有非负系数。这些主题涵盖第 3–6 章。第 7 章给出分拆渐近在利用 Griffin、Ono、Rolen 与 Zagier 准则证明 Jensen 多项式双曲性中的应用。第 8 章给出求解形如 $a_f(n) = \alpha$ 方程的新方法，其中 $\alpha \in \mathbb{Z}$ 为奇数，$a_f(n)$ 为具有平凡模 2 Galois 表示的归一化 Hecke 本征形式的系数。该方法基于 Bilu、Hanrot 与 Voutier 的本原素因子定理以及椭圆曲线、超椭圆曲线与 Thue 方程的有效代数几何方法。