E_2 的 Eichler 积分与 t-钩子函数的 q-括号

对于分拆上的函数 $f: \mathcal{P}\rightarrow \mathbb{C}$，Bloch 和 Okounkov 定义了一个幂级数 $\langle f\rangle_q$，它是 $f$ 的“加权平均”。作为 $q=e^{2\pi i z}$ 的 Fourier 级数，此类 $q$-括号生成了拟模形式环，以及作为 Dedekind eta 函数之幂的模形式。利用 Berndt 和 Han 的工作，我们由 $$f_t(\lambda):= t\sum_{h\in \mathcal{H}_t(\lambda)}\frac{1}{h^2},$$ 即分拆钩子数（其为 $t$ 的倍数）的加权和，构造模对象。我们发现 $\langle f_t \rangle_q$ 是 $(1-E_2(tz))/24$ 的 Eichler 积分，我们对其加以修正以构造一个具有权 0 模性态的函数 $M_t(z)$。作为推论，非模 Fourier 级数 $$H_t^*(z):=\sum_{\lambda \in \mathcal{P}} f_t(\lambda)q^{|\lambda|-\frac{1}{24}}$$ 继承了权 $-1/2$ 的模性态。这些足以推出一个 Chowla-Selberg 型结果，推广了如下事实：在判别式 $D<0$ 的点 $\tau$ 处取值的权 $k$ 代数模形式是 $\Omega_D^k$（典范周期的 $k$ 次幂）的代数倍数。若令 $\Psi(\tau):=-\pi i \left(\frac{\tau^2-3\tau+1}{12\tau}\right)-\frac{\log(\tau)}{2},$ 则对 $t=1$ 我们证明 $$H_1^*(-1/\tau)-\frac{1}{\sqrt{-i\tau}}\cdot H_1^*(\tau)\in \overline{\mathbb{Q}}\cdot \frac{\Psi(\tau)}{\sqrt{\Omega_D}}.$$