模形式在 Eisenstein 级数上的投影及其在 Siegel 公式中的应用

设 $k \geq 2$ 与 $N$ 为正整数，$\chi$ 为模 $N$ 的 Dirichlet 特征。设 $f(z)$ 为 $M_k(\Gamma_0(N),\chi)$ 中的模形式。则我们有唯一分解 $f(z)=E_f(z)+S_f(z)$，其中 $E_f(z) \in E_k(\Gamma_0(N),\chi)$ 且 $S_f(z) \in S_k(\Gamma_0(N),\chi)$。本文中我们给出用 Eisenstein 级数表示 $E_f(z)$ 的显式公式。随后我们将结果应用于某些 eta 商族以及正定 $2k$ 元正定二次型对正整数的表示，以给出同一属中二次型对整数表示加权平均数的 Siegel 公式的一个替代版本。我们关于后者的公式用广义除数函数表示，且不涉及局部密度的计算。