关于 $M_{2k}(\Gamma_0(N))$ 中的艾森斯坦级数及其应用

设 $k,N \in \mathbb{N}$，其中 $N$ 无平方因子且 $k>1$。我们证明了一个正交关系，并借此用除数和函数计算出任意 $f(z) \in M_{2k}(\Gamma_0(N))$ 的艾森斯坦部分的傅里叶系数。特别地，若 $f(z) \in E_{2k}(\Gamma_0(N))$，则该计算将给出 $f(z)$ 的傅里叶系数的表达式。随后我们将主要定理应用于给出除数函数的卷积和公式，以推广 Ramanujan 的结果，并应用于 eta 商，从而得到某些二次型族表示整数个数的公式。最后我们给出在更一般情形下推导模形式类似结果的基本结论。