具有两个判别式的二次函数之和

Zagier 在 [4] 中讨论了对于偶整数 $k \geq 2$ 和正判别式 $D$ 定义的函数 $F_{k,D}(x)$ 的构造。该构造与半整数权模形式密切相关。特别地，该函数的平均值是 H. Cohen 在 \cite{Cohen} 中构造的权为 $k+1/2$ 的 Eisenstein 级数的第 $D$ 个 Fourier 系数的常数倍。在本文中，我们考虑一种适用于正偶数和正奇数 $k$ 的构造。我们的函数 $F_{k,D,d}(x)$ 依赖于两个判别式 $d$ 和 $D$，其符号满足 sign$(d)=$ sign$(D)=(-1)^k$，当 $d=1$ 时退化为 Zagier 的函数，即 $$F_{k,D,1}(x)=F_{k,D}(x),$$ 并且具有非常相似的性质。特别地，我们证明了 $F_{k,D,d}(x)$ 的平均值同样是权为 $k+1/2$ 的 H. Cohen 的 Eisenstein 级数的 Fourier 系数，而此时整数 $k \geq 2$ 可以为偶数也可以为奇数。