一类算术函数的条件结果：H. L. Montgomery 与 R. C. Vaughan 方法的一个变体

设 $a, b,c$ 和 $k$ 为正整数，满足 $1\leq a\leq b,a<c<2(a+b), c\ne b$ 且 $(a,b,c)=1$。定义算术函数 $f_k(a,b;c;n)$ 如下：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_k(a,b;c;n)}{n^s}=\frac{\zeta (as)\zeta (bs)}{\zeta^k(cs)}, \Re s >1.$$ 令 $\Delta_k(a,b;c;x)$ 表示函数 $f_k(a,b;c;n)$ 的求和函数的误差项。本文给出 $\Delta_k(a,b;c;x)$ 的两种表达式。作为应用，我们研究了所谓的 $(l,r)$-整数、广义平方满整数、$e-r$-自由整数、$r$-自由整数上的除数问题以及 $e$-无平方因子整数。一个重要工具是 H. L. Montgomery 和 R. C. Vaughan 方法的推广。