关于 Hurwitz Zeta 函数在自然数和有理数参数处取值的几点注记

我们利用 Hurwitz zeta 函数 $\zeta (n,x)$ 的一些性质，研究了形式为 $\frac{1}{\pi ^{n}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}1/(jk+l)^{n}$ 和 $\frac{1}{\pi ^{n}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}(-1)^{j}/(jk+l)^{n}$ 的求和，其中 $2\leq n,k\in \mathbb{N},$ 且整数 $l\leq k/2$。我们证明了这些和是代数数。我们还证明了对于 $1<n\in \mathbb{N}$ 和 $p\in \mathbb{Q\cap (}0,1\mathbb{)}$，数 $(\zeta (n,p)+(-1)^{n}\zeta (n,1-p))/\pi ^{n}$ 是代数数。在此过程中，我们找到了阶数分别为 $2m+1$ 和 $2m+2$ 的多项式 $s_{m}$ 和 $c_{m}$，使得它们的正弦和余弦傅里叶变换的第 $n$ 个系数分别等于 $(-1)^{n}/n^{2m+1}$ 和 $(-1)^{n}/n^{2m+2}$。