多变量 k 次除数函数误差项的矩

设 $k\geqslant3$ 为整数。$\tau_k(n)$ 表示 $n$ 可写成 $k$ 个固定因子乘积的方式数。对任意固定整数 $r\geqslant2$，我们有渐近公式 \begin{equation*} \sum_{n_1,\cdots,n_r\leqslant x}\tau_k(n_1 \cdots n_r)=x^r\sum_{\ell=0}^{r(k-1)}d_{r,k,\ell}(\log x)^{\ell}+O(x^{r-1+\alpha_k+\varepsilon}), \end{equation*} 其中 $d_{r,k,\ell}$ 和 $0<\alpha_k<1$ 为可计算常数。本文研究 $\Delta_{r,k}(x)$ 的均方，对 $k\geqslant4$ 给出上界，并对 $\Delta_{r,3}(x)$ 的均方给出渐近公式。我们还得到 $\Delta_{r,3}(x)$ 的三次矩上界。此外，我们研究 $\Delta_{r,3}(x)$ 的一次矩，并给出其符号变化的结果。