一类特殊型单位方程在二未知数中解的个数（二）

本文致力于 R. Scott 与 R. Styer 的一个猜想，该猜想断言：对任意固定的互素正整数 $a,b$ 与 $c$（均大于 1），方程 $a^x+b^y=c^z$ 在正整数 $x,y$ 与 $z$ 中至多有一个解，除特定情形外。基本结果在 $a$ 与 $b$ 模 $c$ 的某种同余条件下证明了该猜想。作为应用，当 $c$ 取若干较小值（包括迄今发现的费马素数）时猜想被证实成立，特别地，这给出了 Scott [R. Scott, On the equations $p^x-b^y=c$ and $a^x+b^y=c^z$, J. Number Theory 44(1993), no.2, 153-165] 定理的解析证明，该定理以纯代数方式解决了 $c=2$ 时的猜想。该方法可推广至更小模数的情形，结果表明猜想对无穷多个非完全幂的具体 $c$ 值成立。主要新颖之处在于通过由方程两个假设解所引出的某种整除关系，应用一类特殊的 $p$-adic 的 Baker 对数线性型理论的类比。其他工具包括复情形下的 Baker 理论及其数域上的非阿基米德类比，辅以经由有理数与二次数的各种初等方法，以及大量计算。