一类特殊二元单位方程解的个数

对于任意固定的互素正整数 $a,b$ 和 $c$，满足 $\min\{a,b,c\}>1$，我们证明方程 $a^x+b^y=c^z$ 在正整数 $x,y$ 和 $z$ 中至多有两个解，除一个恰好给出三个解的特定情形外。我们的结果本质上是尖锐的，原因在于存在无穷多例子使得该方程在正整数中有两个解。从费马方程一个著名推广的视角看，这也可被视为 Bennett [M.A.Bennett, On some exponential equations of S.S.Pillai, Canad. J. Math. 53(2001), no.2, 897--922] 著名定理的三变量推广，该定理断言对于任意固定的正整数 $a,b$ 和 $c$ 且 $\min\{a,b\}>1$，Pillai 型方程 $a^x-b^y=c$ 在正整数 $x$ 和 $y$ 中至多有两个解。