方程 $a^x+b^y=c^z$ 在 $\gcd(a,b)>1$ 时的解数

我们证明，对于所有大于 1 的正整数 $a$、$b$ 和 $c$，方程 $a^x+b^y=c^z$ 至多有两组正整数解 $(x,y,z)$，其中当 $\gcd(a,b)=1$ 时仅有一个例外情形，当 $\gcd(a,b)>1$ 时仅有一个无穷例外族（若 $\{ a^{x_1}, b^{y_1} \} = \{ a^{x_2}, b^{y_2} \}$，则两组解 $(x_1,y_1,z_1)$ 与 $(x_2,y_2,z_2)$ 视为同一解）。$\gcd(a,b)=1$ 的情形已由 Scott 与 Styer、Hu 与 Le、以及 Miyazaki 与 Pink 的一系列相继结果所处理，他们证明至多有两组解，但 $(\{a,b\},c) = (\{3,5\},2)$ 除外，该情形给出三组解。因此，本文处理 $\gcd(a,b)>1$ 的情形，证明此时至多有两组解，但 $(a,b,c) = (2^u, 2^v, 2^w)$ 且 $\gcd(uv,w)=1$ 除外，该情形给出无穷多组解。这推广了 Bennett 的工作，他证明了对 $\gcd(a,b)=1$ 和 $\gcd(a,b)>1$ 两种情形，方程 $a + b^y = c^z$ 至多有两组解 $(y,z)$，并猜想恰好有十一个 $(a,b,c)$ 给出该方程的两组解（假设 $b$ 和 $c$ 不是完全方幂）。对 $\gcd(a,b)=1$ 和 $\gcd(a,b)>1$ 两种情形，均有无穷多个 $(a,b,c)$ 给出标题方程的两组解 $(x,y,z)$，本文及所引前文对此作了详细描述。在一项进一步的结果中，我们不再将满足 $\{ a^{x_1}, b^{y_1} \} = \{ a^{x_2}, b^{y_2} \}$ 的两组解 $(x_1,y_1,z_1)$ 与 $(x_2,y_2,z_2)$ 视为同一解，并列出所有多于两组解的情形。