论具有受限根基大小的 ABC 解的数量

我们考虑 ABC 猜想的一个变体，试图计数满足 $A+B+C=0$ 的解的数量，其中 $A,B,C$ 为两两互质的整数，每个数的绝对值小于 $N$，且 $r(A)<|A|^a, r(B)<|B|^b, r(C)<|C|^c$。ABC 猜想等价于如下陈述：当 $a+b+c<1$ 时，解的数量有与 $N$ 无关的界。若 $a+b+c \geq 1$，则猜想解的数量渐近为 $N^{a+b+c-1 \pm \epsilon}$。只要 $a+b+c \geq 2$，我们就证明了这一猜想。