一类特殊二元单位方程的解数，III
数论
2025-04-15 v2
摘要
猜想对于任意固定的互素正整数a,b,c（均大于1），方程a^x+b^y=c^z在正整数x,y,z中至多有一个解，除特定情况外。我们发展了先前工作中依赖于Baker理论多种变体的方法，并彻底研究了c相对于a或b较小的情况下的猜想。利用在方程有多个解时得到的限制条件，我们获得了关于该猜想的若干有限性结果，这特别使我们能够找到一些新的c值（可能是无穷多个），使得对于每个这样的c，该猜想除了有限对(a,b)外都成立。最重要的是，我们证明如果c=13，则方程至多有一个解，除了(a,b)=(3,10)或(10,3)恰好给出两个解。此外，我们的研究借助Schmidt子空间定理等，对Pillai型丢番图方程的研究做出了重要贡献，其中包括对M. Bennett关于方程a^x-b^y=c（对于任意固定正整数a,b,c，且a,b均大于1）的一个著名猜想的普遍且令人满意的结果。还给出了在abc猜想下的一些条件性结果。
引用
@article{arxiv.2403.20037,
title = {Number of solutions to a special type of unit equations in two unknowns, III},
author = {Takafumi Miyazaki and István Pink},
journal= {arXiv preprint arXiv:2403.20037},
year = {2025}
}
备注
46 pages; revised; comments welcome!