在某些 $a$、$b$、$c$ 范围内 $a^x + b^y = c^z$ 至多有一个解

我们考虑纯指数丢番图方程 $a^x+b^y =c^z$（其中 $\gcd(a,b)=1$）在正整数 $(x,y,z)$ 中的解的数量。除一系列已知例外情况外，2016 年发表的一个猜想声称该方程在正整数 $x$、$y$ 和 $z$ 中至多有一个解。我们证明这对于 $a$、$b$、$c$ 的某些范围成立，例如当 $1 < a,b < 3600$ 且 $c<10^{10}$ 时。该猜想对于与 $c$ 无关的小的 $(a,b)$ 对也成立，其中 $2 \le a,b \le 10$ 且 $\gcd(a,b)=1$。我们证明当 $2 \le a,b \le 3600$ 时，Pillai 方程 $a^x - b^y = r > 0$ 至多有一个解（具有已知的例外列表）。最后，Jeśmanowicz 猜想的本原情形在 $a \le 10^6$ 或 $b \le 10^6$ 时成立。本工作突出了 Miyazaki 和 Pink 的一些思想的力量以及 Scott 的一个定理的实用性。