关于 Jeśmanowicz 猜想的例外解

设 $(a,b,c)$ 为本原毕达哥拉斯三元组。令 $a=m^2-n^2$、$b=2mn$、$c=m^2+n^2$，其中 $m$ 与 $n$ 为互素正整数，$m>n$ 且 $m \not \equiv n \pmod 2$。Jeśmanowicz 的一个著名猜想断言，丢番图方程 $a^x+b^y=c^z$ 的唯一正整数解为 $(x,y,z)=(2,2,2)$。在本文中，我们将证明对任意 $n>0$，存在显式常数 $c(n)>0$，使得若 $m> c(n)$，则当 $x$、$y$ 与 $z$ 均为偶数时上述方程无例外解。我们的结果改进了 Fu 与 Yang [11] 的结论。作为一个应用，我们将证明若 $4 \mid\!\mid m$ 且 $m > c(n)$，则 Jeśmanowicz 猜想成立。