BHV定理在指数丢番图方程新猜想上的一个应用

设 $A$、$B$ 为固定的正整数，满足 $\min\{A,B\} > 1$、$\gcd(A,B) = 1$ 且 $AB \equiv 0 \bmod 2$，$n$ 为大于 $1$ 的正整数。本文利用 Y. Bilu、G. Hanrot 与 P. M. Voutier \cite{BHV} 关于 Lucas 数本原因子的存在性的深刻结果，证明若 $A > 8 B^3$，则方程 $(*) \quad (A^2 n)^x + (B^2 n)^y = ((A^2 + B^2)n)^z$ 不存在满足 $x > z > y$ 的正整数解 $(x,y,z)$。将上述结论与若干已有结果结合，可推得若 $A > 8 B^3$ 且 $B \equiv 2 \bmod 4$，则 (*) 仅有正整数解 $(x,y,z) = (1,1,1)$。