关于算术级数中三平方和的幂值

本文利用Y. Bilu、G. Hanrot和P. M. Voutier关于Lehmer数本原除子存在性的深刻结果，首先给出了当$n$为奇素数且$d=p^r$、$p>3$为素数时丢番图方程$(x-d)^2+x^2+(x+d)^2=y^n$（*）的所有正整数解的显式公式。因此这改进了A. Koutsianas和V. Patel \cite{KP}以及A. Koutsianas \cite{Kou}论文中的结果。其次，在我们第一个结果的假设下，我们证明（*）至多有一个解$(x,y)$。接下来，对一般的$d$，我们证明以下两个结果：(i) 若$d$的每个奇素因子$q$满足$q\not\equiv \pm 1 \pmod{2n}$，则（*）仅有解$(x,y,d,n)=(21,11,2,3)$。(ii) 若$n>228000$且$d>8\sqrt{2}$，则（*）的所有解$(x,y)$满足$y^n<2^{3/2}d^3$。