关于丢番图方程 $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^{\alpha}$ 及对奇完全数的应用注记

设 $N$ 为一个奇完全数。Euler 证明了存在某些整数 $n, \alpha$ 和素数 $q$，使得 $N = n^{2}q^{\alpha}$，$q \nmid n$，且 $q \equiv \alpha \equiv 1 \bmod 4$。在本注记中，我们证明比值 $\frac{\sigma(n^{2})}{q^{\alpha}}$ 既不是平方数也不是平方数乘以单个素数，除非 $\alpha = 1$。这是丢番图方程 $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^{\alpha}$ 的某一性质的直接推论，其中 $l$ 表示 1 或一个素数，其证明基于二次序 $\mathbb{Z}[\sqrt{1-q}]$ 中的素理想分解以及广义 Fermat 方程 $x^{\beta}+y^{\beta} = 2z^{2}$ 的本原解。我们还给出了对奇多倍完全数的轻微推广。