反驳笛卡尔关于奇完全数猜想的充分条件

设 $\sigma(x)$ 为 $x$ 的约数之和。若 $N$ 为奇数且 $\sigma(N) = 2N$，则当 $N = {q^k}{n^2}$（其中 $q$ 为素数，满足 $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$ 且 $\gcd(q,n) = 1$）时，称该奇完全数 $N$ 处于欧拉形式。在本注记中，我们证明了若 $q < n$，则笛卡尔猜想（此前称为 Sorli 猜想）$k = \nu_{q}(N) = 1$ 不成立。由此可得双条件命题 $k = \nu_{q}(N) = 1 \Longleftrightarrow n < q$ 的无条件证明。最后，遵循 Cohen 和 Sorli 的近期结果，我们证明了若 $q < n$，则 $q > 5$ 或 $k > 5$ 必有一者成立。（注：因本文目前仍在进行中，现暂时撤回。）