关于 Erd"os 猜想与某些 Dirichlet 级数

设 $f:\Z/q\Z\rightarrow\Z$ 使得对于 $1\le a<q$ 有 $f(a)=\pm 1$，且 $f(q)=0$。Erd"os 猜想 $\sum_{n\ge1}\frac{f(n)}{n} \ne 0$。对于偶数 $q$，这显然是成立的。若 $q\equiv 3$ ( mod $4$)，Murty 和 Saradha 证明了该猜想。我们证明了对于剩余 $82\%$ 的满足 $q\equiv 1$ ( mod $4$) 的整数 $q$，该猜想成立。