与 Erdős 关于本原序列猜想相关的结果与猜想

一个严格递增的正整数序列 $\mathscr{A}$ 被称为本原的，如果 $\mathscr{A}$ 中没有任何一项能整除另一项。Erdős 证明了级数 $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a \log a}$（其中 $\mathscr{A}$ 是不同于 $\{1\}$ 的本原序列）都是收敛的，且其和有一个绝对常数作为上界。此外，他猜想当 $\mathscr{A}$ 为素数序列时，上述和的上界被达到。本文旨在研究 Erdős 猜想。在论文的第一部分，我们给出了两个与 Erdős 猜想等价的重要猜想；在第二部分，我们研究了形如 $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a (\log a + x)}$ 的级数，其中 $x$ 是一个固定的非负实数，$\mathscr{A}$ 是不同于 $\{1\}$ 的本原序列。特别地，我们证明了对于这些级数，Erdős 猜想的类比不成立，至少对于 $x \geq 363$ 是如此。在论文末尾，我们提出了一个比 Erdős 猜想更一般的猜想，涉及上述级数，并以提出一些开放问题作为结束。