Erdős不同和问题的变体与方差法

设$\Sigma=\{a_1, \ldots , a_n\}$是一组正整数，满足$a_1 < \ldots < a_n$且所有$2^n$个子集和两两不同。Erdős的一个著名猜想断言存在常数$C$使得$a_n>C\cdot 2^n$，而目前已知的最佳结果是$a_n>C\cdot 2^n/\sqrt{n}$的形式。在本文中，我们提出了Erdős不同和问题的一个推广，其精神与最近在\cite{CGS}和\cite{CS}中引入的Davenport常数和Erdős-Ginzburg-Ziv常数类似。更精确地说，我们要求$\Sigma$的大小至多为$\lambda n$（给定$\lambda\in (0,1]$）的子序列上的$m$次对称多项式的非零求值全部不同，其中$\Sigma$被视为$\mathbb{Z}^k$中的一个序列，每个$a_i$的每个坐标都在$[0,M]$中。若$\mathcal{F}_{\lambda,n}$表示$[1,n]$中大小至多为$\lambda n$的子集族，我们的主要结果是：对于每个$k,m,\lambda$，存在显式常数$C_{k,m,\lambda}$使得$$M\geq C_{k,m,\lambda} \frac{(1+o(1)) |\mathcal{F}_{\lambda,n}|^{\frac{1}{mk}}}{n^{1 - \frac{1}{2m}}}.$$