利用子空间定理改进平方和的界

平方根求和问题如下：给定 $x_1,\dots,x_n \in \mathbb{Z}$ 和 $a_1,\dots,a_n \in \mathbb{N}$，判断 $E=\sum_{i=1}^n x_i \sqrt{a_i} \geq 0$ 是否成立。这是一个著名的开放问题（开放问题计划的问题 33），即是否可以在多项式时间内对其进行判定。SOTA 方法依赖于分离界，即对 $E$ 的最小非零绝对值的下界。当前最好的界表明 $|E| \geq \left(n \cdot \max_i (|x_i| \cdot \sqrt{a_i})\right)^{-2^n}$，这是一个双重指数级小的值。我们提供了一个形式为 $|E| \geq \gamma \cdot (n \cdot \max_i|x_i|)^{-2n}$ 的新界，其中 $\gamma$ 是一个依赖于 $a_1,\dots,a_n$ 的常数。对于固定的 $a_1,\dots,a_n$，这在 $n$ 中是单指数级的。常数 $\gamma$ 是非显式的，源于子空间定理，这是数的几何中的一个深刻结果。