关于三次指数和最大值分布的研究

本文研究某些通常称为“Birch 和”的三次指数和的部分和之最大值的分布。我们的主定理给出了该最大值取大值的分布的上界与下界（量级几乎相同），且在很广的一致范围内成立。这改进了 Kowalski 与 Sawin 近期的结果。证明融合了概率方法、调和分析技巧以及代数几何中的深刻工具。结果也可推广到其他类型的 $\ell$-adic 迹函数。特别地，我们结果的下界对 Kloosterman 和的部分和也成立。作为一个应用，我们证明存在 $x\in [1, p]$ 与 $a\in \mathbb{F}_p^{\times}$ 使得 $|\sum_{n\leq x} \exp(2\pi i (n^3+an)/p)|\ge (2/\pi+o(1)) \sqrt{p}\log\log p$。我们结果的一致性表明该界是最优的，除常数的值外。