混合字符和数之和的大值分布

本文我们研究完全指数和 $S_{p,\chi}(\theta)=\sum_{n=1}^p \chi(n)e(n\theta)$ 的值分布，其中 $p$ 为大素数，$\chi$ 为模 $p$ 上的Dirichlet字符，阶数 $d\geq 2$，$\theta$ 随着特定子集中 $[0,1]$ 的变化。当 $d=2$ 时，这些和对应于 $p$ 关联的 Fekete 多项式在单位圆上的值。我们的第一个结果给出 $S_{p,\chi}(\theta)$ 绝对值分布尾部的精确估计，范围为 $\theta$ 随集合 $\{(k+1/2)/p\}_{1\leq k\leq p}$ 变化时。这改进了 Conrey、Granville、Poonen 和 Soundararajan 的结果。我们还考虑 $S_{p,\chi}(\theta)$ 最大值在区间 $\theta\in I_k=[k/p,(k+1)/p]$ 上的分布，并获得该最大值大值分布的上界和下界，有效范围几乎最优：我们在论文中将此精确化。我们的结果为Montgomery关于单位圆上 Fekete 多项式最大值的猜想提供了有力支持。特别是，我们显示分布函数呈现双指数衰减，随着偶数阶和奇数阶 $d$ 的情况之间出现惊人的行为差异。