关于无理旋转 Birkhoff 和的度量上密度

本文考察了对于几乎处处的 $\alpha$，当 $N \in \mathbb{N}$ 在较长区间内取值且 $f$ 为在有理数处具有间断点或对数奇点的 $1$-周期函数时，$S_{N}(f, \alpha) := \sum_{n=1}^N f(n\alpha)$ 的值分布。我们证明，对于上密度为正的集合中的 $N$，$S_{N}(f, \alpha)$ 的阶为 Khintchine 型，除非对数奇点是对称的。此外，我们展示了此类 $f$ 的 Denjoy-Koksma 不等式的渐近尖锐性，并给出了在数值积分理论中的应用。我们的方法还导出了经典 Borel-Bernstein 定理的一种推广形式，允许非常一般的模条件。