旋转映射上非遍历 Birkhoff 和的丢番图逼近

我们研究旋转上的 Birkhoff 和（形如 $\sum_{r=1}^{N}\phi(r\alpha)$ 的级数），其中求和函数 $\phi$ 可能在原点无界。自 1890 年代末以来，这类和的估计在纯数学中具有重要的意义与应用，但近年来它们也出现在众多应用数学领域，并受到显著的重新关注。被深入研究的函数包括数论函数的倒数，如 $\phi(x)=1/\{x\},1/\{\{x\}\},1/\left\Vert x\right\Vert$，以及三角函数如 $\phi(x)=\cot\pi x$ 或 $\left|\csc\pi x\right|$。经典上，每个函数的 Birkhoff 和都是使用针对特定函数的工具在相对孤立的状态下研究的，且结果常局限于 Bachmann-Landau 估计。我们在此引入一个更通用的统一理论，适用于上述所有函数。该理论仅使用初等工具（无复分析工具），能够给出有效性结果（显式界），且总体上达到或改进了先前可得的结果。