黄金旋转的Birkhoff和中的自相似性与增长

我们研究在黄金平均旋转数$a$（具有周期连分数逼近$p(n)/q(n)$）下的Birkhoff和$S(k,a) = g(a)+g(2a)+...+g(ka)$，其中$g(x) = \log(2-2\cos(2\pi x))$。具有对数奇异性的此类量的求和受到临界KAM现象的启发。我们将对数平均Birkhoff和$S(k,a)/\log(k)$的有界性以及$S(q(n),a)$的收敛性与一个实验建立的极限函数$f(x) = \lim_{n\to\infty} S([x q(n)])(p(n+1)/q(n+1))-S([x q(n)])(p(n)/q(n))$在区间$[0,1]$上的存在性联系起来。函数$f$满足一个函数方程$f(ax) + (1-a) f(x)= b(x)$，其中$b$是单调函数。当$n$趋于无穷时，极限$\lim S(q(n),a)$可以用函数$f$表示。