多群旋转遍历平均的收敛性
动力系统
2019-02-20 v1 经典分析与常微分方程
群论
摘要
设 G 为紧阿贝尔拓扑群，m 为 G 上的 Haar 测度，f 为可测函数。给定严格单调递增整数序列 (n_k)，我们考虑非传统遍历/Birkhoff 平均 M_N^{\alpha} f(x)。f-旋转集定义为 Gamma_f={\alpha \in G: M_N^{\alpha} f(x) 对 m 几乎处处 x 当 N\to \infty 时收敛}。我们证明，若 G 为紧局部连通阿贝尔群且 f: G -> R 为可测函数，则由 m(Gamma_f)>0 可推出 f \in L^1(G)。当 G=Z_{p}（p-adic 整数群）时，对普通 Birkhoff 平均也有类似结果。然而，若对偶群 \hat{G} 包含“无穷多重复挠元”，则当考虑沿遍历序列的非传统 Birkhoff 平均时，此类结果不成立。我们结果的关键在于尾部 f(x+n_{k} {\alpha})/k, k=1,... 对许多 \alpha 几乎处处 x 的有界性，因此我们的一些定理使用稍大的集合 Gamma_{f,b} 而非 Gamma_f 来陈述。
引用
@article{arxiv.1411.0508,
title = {Convergence of ergodic averages for many group rotations},
author = {Zoltan Buczolich and Gabriella Keszthelyi},
journal= {arXiv preprint arXiv:1411.0508},
year = {2019}
}