顺从群上有界可测函数的遍历平均的点态收敛

给定任意顺从群 $G$ (带有左Haar测度 $|\cdot|$ 或 $dg$)，我们可以从 $G$ 中任意左Følner网中选出一个 Følner子网 $\{F_\theta,\theta\in\Theta\}$，它是 $L^\infty$-可容的，即对任意Borel $G$-空间 $(X,\mathscr{X})$ 和任意 $\varphi\in L^\infty(X,\mathscr{X})$, \begin{gather*} \lim_{\theta\in\Theta}\frac{1}{|F_\theta|}\int_{F_\theta}\varphi(gx)dg=\varphi^*(x)\ \forall x\in X\quad {\textrm{and}}\quad \varphi^*=(g\varphi)^*\ \forall g\in G. \end{gather*} 此外，若 $G$ 是 $\sigma$-紧的，例如局部紧第二可数Hausdorff顺从群，则 $\varphi^*\in L^\infty(X,\mathscr{X})$，$\varphi^*(gx)=\varphi^*(x)$ 几乎处处，且 $\varphi^*$ 几乎处处独立于 $G$ 中可容Følner网 $\{F_\theta,\theta\in\Theta\}$ 的选择。因此，我们可以轻易得到任意 $\sigma$-紧顺从群通过 $X$ 的连续变换在紧度量空间 $X$ 上Borel作用时的不变概率测度的遍历分解，以及顺从群通过 $X$ 的连续映射在局部紧、$\sigma$-紧度量空间 $X$ 上作任意Borel作用时的 $\sigma$-有限不变Radon测度的存在性，以及一个 $L^\infty$-点态多重遍历定理。