可均群在 Hilbert 空间上仿射作用的遍历定理

我们证明了关于可均群弱混合表示相关的 1-上循环的新弱均值遍历定理（定理 A）。设 $G$ 为具有受控 Følner 序列的有限生成离散可均群。我们利用定理 A 推导出，任何具有弱混合线性部分的 Hilbert 空间上的仿射作用 $G\ca^T \Cal H$ 都存在一个几乎不动点序列（定理 B）。专门针对 $G$ 为多项式增长有限生成群的情况，我们证明了相关 1-上循环在 $n$-球上的平均值的凸组合构成了作用 $G\ca^T \Cal H$ 的几乎不动点序列（推论 C）。这独立于 Gromov 关于多项式增长群虚拟幂零性的定理，肯定了 Shalom 猜想的一个弱形式。作为推论，我们能够给出 Gromov 定理的一个新的、初等的遍历理论证明。