Hilbert空间上仿射等距作用的遍历理论

经典 Gaussian 函子将局部紧群 $G$ 的每个正交表示联系到一个保概率测度作用，称为 Gaussian 作用。本文通过将 $G$ 在 Hilbert 空间上的每个仿射等距作用联系到一族非奇异 Gaussian 作用来推广该构造，这些作用的遍历性质以非常微妙的方式与原作用的几何相关。我们证明这些非奇异 Gaussian 作用表现出相变现象，并将其与仿射等距作用的新定量不变量相联系。我们利用 Patterson-Sullivan 理论以及 Lyons-Pemantle 关于树上随机游走的著作，给出树上仿射等距作用的该相变的精确描述。我们还证明每个无性质 (T) 的局部紧群都承认一个自由的、弱混合的且稳定型为 $\mathrm{III}_1$ 的非奇异 Gaussian 作用。