Hilbert 空间上的不可约仿射等距作用

我们对局部紧群在 Hilbert 空间上的不可约仿射等距作用进行了系统研究。结果表明，尽管该研究与经典的不可约酉表示理论存在一些平行之处，但这两个理论在多个方面存在差异（例如，两个不可约仿射作用的直和仍可能是不可约的）。我们使用的主要工具之一是 Schur 引理的仿射版本，用于刻画仿射等距群作用的不可约性。这使得我们能够描述例如幂零群的不可约仿射等距作用。作为另一个应用，我们为 Neretin 的以下结果提供了一个简短证明：局部紧群的不可约仿射作用限制到余紧格子上仍保持不可约。我们给出了一个固定酉表示成为不可约仿射作用线性部分的充要条件。特别是，当该酉表示是离散群 $G$ 的正则表示的倍数时，我们展示了此问题如何与 $G$ 的 $L^2$-Betti 数相关联。在给出不可约仿射作用直和为不可约的充要条件后，我们证明了以下超刚性结果：若 $G$ 是两个或更多局部紧群的乘积，则 $G$ 中任何不可约余紧格子的每个不可约仿射作用均可延拓为 $G$ 的仿射作用，前提是该作用的线性部分不弱包含平凡表示。