调和 1-上闭链、von Neumann 代数与不可约等距仿射作用

设 $G$ 为紧生成局部紧群，$(\pi, \mathcal H)$ 为 $G$ 的一个酉表示。系数在 $\pi$ 中的调和 1-上闭链（关于 $G$ 上某个合适的概率测度）代表了第一约化上同调 $\bar{H}^1(G,\pi)$ 中的类。我们证明，调和 1-上闭链在其约化上同调类中由它们张成 $\mathcal H$ 的一个极小闭子空间这一事实所刻画。特别地，如果 $b(G)$ 的线性张在 $\mathcal H$ 中稠密，则由调和上闭链 $b$ 给出的等距仿射作用是不可约的（即 $\mathcal H$ 不包含非空、真闭不变仿射子空间）。如果 $\pi$ 进一步没有几乎不变向量，则其逆命题成立。我们的方法利用了系数在 $\pi$ 中的调和 1-上闭链空间作为 von Neumann 代数 $\pi(G)'$（即 $\pi(G)$ 的换位）上的 Hilbert 模的自然结构。利用算子代数技术，如 von Neumann 维数，我们给出了一个没有几乎不变向量的因子表示 $\pi$ 允许以 $\pi$ 为线性部分的不可约仿射作用的充分必要条件。