具有反射对称性的 Lie 群的酉表示

我们考虑以下类酉表示 $\pi$ 的 Li 群 $G$，其具有如下匹配的对称性：(i) 假设 $G$ 具有周期为 2 的自同态 $\tau$，且 Hilbert 空间 $\mathbf{H} (\pi)$ 承载酉算子 $J$，满足 $J\pi =(\pi \circ \tau)J$（即自相似性）。(ii) 若 $\mathbf{H} (\pi)$ 进一步包含闭子空间 $\mathbf{K}_0$，且满足一定的阶协变性质，同时满足 $\mathbf{K}_0$ 限制下的正性：$< v \mid Jv > \ge 0$，对所有 $v\in \mathbf{K}_0$ 成立，其中 $< \cdot \mid \cdot >$ 为 $\mathbf{H} (\pi)$ 中的内积。由 (i)~(ii)，我们得到与关联双群 $G^c$ 的诱导双表示。当 $G$ 为半单且厄米矩阵时，自相似性、阶协变性和正性三个性质在自然语境中都满足；但当 $G$ 为 $(ax+b)$ 群或 Heisenberg 群时，针对无限维不可约表示，正性与其他两个公理不兼容。我们描述了包含后两者的 $G$ 类，给出满足自相似性和阶协变性公理的可能空间 $\mathbf{K}_0 \subset \mathbf{H} (\pi)$ 的分类。