无限维 Hilbert 空间单位球面上的顺从表示与动力学

我们建立了群 $G$ 的酉表示 $\pi$ 的顺从性（在 Bekka 的意义下）与相应动力系统 $(\s_\pi,G)$ 的集中性质（在 V. Milman 的意义下）之间的密切联系，其中 \s_\H 是表示所在的 Hilbert 空间的单位球面。我们证明 $\pi$ 是顺从的当且仅当 $\pi$ 包含一个有限维子表示，或者 $\s_\pi$ 的最大一致紧化具有一个 $G$-不动点。等价地说，后者意味着 $G$-空间 $(\s_\pi,G)$ 具有集中性质：球面 $\s_\pi$ 的每一个有限覆盖都包含一个集合 $A$，使得对于任意 $\e>0$，$G$ 中有限个元素对 $A$ 的平移的 $\e$-邻域总相交。作为一个推论，$\pi$ 的顺从性等价于在 $\s_\pi$ 上的一致连续有界函数存在一个 $G$-不变均值。作为另一个推论，局部紧群 $G$ 是顺从的当且仅当对于 $G$ 在无限维 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 中的任意强连续酉表示，系统 (\s_\H,G) 具有集中性质。