离散群固定的虚拟向量空间的自同态

考虑离散群 $G$ 的一个酉表示 $\pi$，当其限制到几乎正规子群 $\Gamma\subseteq G$ 时为 II 型。我们分析了 $G$ 在“虚拟”$\Gamma_0$-不变向量希尔伯特空间上的相关酉表示 $\overline{\pi}^{\rm{p}}$，其中 $\Gamma_0$ 遍历 $\Gamma$ 的适当有限指数子群类。$G$ 的酉表示 $\overline{\pi}^{\rm{p}}$ 由以下要求唯一确定：对于所有 $\Gamma_0$，Hecke 算子是 $\overline{\pi}^{\rm{p}}$ 的“块矩阵系数”。如果 $\pi|_\Gamma$ 是正则表示的整数倍，则存在表示 $\pi$ 的希尔伯特空间的一个子空间 $L$，作为 $\Gamma$ 的基本域。在这种情况下，$\Gamma$-不变向量空间被识别为 $L$。当 $\pi|_\Gamma$ 不是正则表示的整数倍时（例如，如果 $G=PGL(2,\mathbb Z[\frac{1}{p}])$，$\Gamma$ 是模群，$\pi$ 属于 $PSL(2,\mathbb R)$ 的离散系列表示，且 $\Gamma$-不变向量是尖点形式），我们假设 $\pi$ 是更大酉表示在子空间 $H_0$ 上的限制，该更大表示具有如上所述的子空间 $L$。投影 $P_L$（通常是基本域的特征函数）到 $L$ 与投影 $P_0$（通常是到解析函数空间的 Bergman 投影）到子空间 $H_0$ 之间的算子角，是 $\Gamma$-不变向量空间的类比。我们证明了酉表示 $\overline{\pi}^{\rm{p}}$ 的特征标由表示 $\pi$ 的特征标唯一确定。