尖形式在全纯离散序列与冯·诺依曼代数上的作用

连通半单实李群 $G$ 的全纯离散序列表示 $(L_\pi,H_\pi)$ 与其极大紧子群 $K$ 的不可约表示 $(\pi,V_{\pi})$ 相关联。底层空间 $H_\pi$ 可实现为有界对称域 $\mathcal{D}\cong G/K$ 上某些全纯的 $V_{\pi}$ 值函数。借助 Berezin 量化，我们将 $B(H_{\pi})$ 转化为 $\mathcal{D}$ 上取值于 End$(V_{\pi})$ 的函数。对 $G$ 的格 $\Gamma$，我们给出群冯·诺依曼代数 $L_{\pi}(\Gamma)''$ 的交换子 $L_\pi(\Gamma)'$ 上忠实正规迹态的公式。我们发现，与 $\Gamma\backslash\mathcal{D}$ 上本质有界的 End$(V_\pi)$ 值函数 $f$ 相关联的 Toeplitz 算子 $T_f$ 生成整个交换子 $L_\pi(\Gamma)'$：$$\overline{\{T_f|f\in L^\infty(\Gamma\backslash\mathcal{D},{\rm End}(V_\pi))\}}^{\text{w.o.}}=L_\pi(\Gamma)'.$$ 对 $\Gamma$ 定义在 $G$（或 $\mathcal{D}$）上的任意尖自守形式 $f$，我们发现相关联的 Toeplitz 型算子 $T_f$ 交错了 $\Gamma$ 在这些平方可积表示上的作用。因此形如 $T_g^{*}T_f$ 的复合算子属于 $L_\pi(\Gamma)'$。我们证明这些算子张成 $L^{\infty}(\Gamma\backslash\mathcal{D})$ 且 $$\overline{\langle\{\text{span}_{f,g} T_g^{*}T_f\}\otimes {\rm End}(V_\pi)\rangle}^{\text{w.o.}}=L_\pi(\Gamma)',$$ 其中 $f,g$ 取遍同类型的 $\Gamma$ 的全纯尖形式。若 $\Gamma$ 为无限共轭类群，则由尖形式得到一个 $\text{II}_1$ 因子。