冯·诺依曼维数示例的两种新情形

令 $G=PSL(2,\mathbb{R})$，令 $\Gamma$ 为 $G$ 中的格，并令 $\mathcal{H}$ 为 $G$ 的具有平方可积矩阵系数的不可约酉表示。[Goodman, de la Harpe, Jones 1989] 中的定理指出，$\mathcal{H}$ 作为 $R\Gamma$-模的冯·诺依曼维数等于离散序列表示 $\mathcal{H}$ 的形式维数乘以 $\Gamma$ 的协体积，依同一 Haar 测度计算。我们证明了受该定理启发的两个结果。首先，我们给出 $R\Gamma_2$ 在 $L^2(\Gamma_1 \backslash G)$ 中尖点自守函数子空间上的表示，其中 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 为 $G$ 中的格；且该表示酉等价于 [Goodman, de la Harpe, Jones 1989] 中的某个表示。其次，当 $G$ 为 $PGL(2,F)$（$F$ 为特征 $0$ 的局部非阿基米德域，其剩余域的阶不被 2 整除），$\Gamma$ 为 $PGL(2,F)$ 中的无挠格（由 Ihara 定理知其为自由群），且 $\mathcal{H}$ 为 Steinberg 表示或零深度超尖表示时，我们计算了冯·诺依曼维数，二者各自给出不同的维数。