不变环与对称群的表示

本文研究有限维代数结构研究中出现的不变环。我们遇到的环是形如 $K[U]^{\Gamma}$ 的分次环，其中 $\Gamma$ 是特征零域 $K$ 上一般线性群的乘积，$U$ 是 $\Gamma$ 的有限维有理表示。我们将利用对称群的表示理论与 Schur-Weyl 对偶来计算此类环的 Hilbert 级数。我们聚焦于 $U=\text{End}(W^{\oplus k})$ 且 $\Gamma = \text{GL}(W)$ 的情形，以及 $U=\text{End}(V\otimes W)$ 且 $\Gamma = \text{GL}(V)\times \text{GL}(W)$ 的情形，尽管此处引入的方法也可应用于更一般的框架。对上述两种情形，我们根据 Littlewood-Richardson 系数与 Kronecker 系数计算不变环的 Hilbert 函数。当向量空间维数为 2 时，我们还给出了该 Hilbert 级数的显式计算。