对称代数上的图论方法与不变量环

设 $G$ 为复经典群，$V$ 为其定义表示（可能加上一份对偶）。经典不变量理论中的一个基础问题是为 $V$ 上 $m$ 次齐次多项式函数空间 $\mathcal{P}^m(V)$ 上的 $G$-不变多项式函数环写出生成元与关系。本文将 $\mathcal{P}^m(V)$ 替换为完整的多项式代数 $\mathcal{P}(V)$。结果，不变量环不再有限生成。因此，我们不求生成元，而是旨在为双分次分量写出线性基。事实上，当 $G$ 的秩足够高时，我们将这些基实现为具有指定顶点数与边数的图集合。当 $G$ 的秩较小时，图之间会出现复杂的线性依赖，但我们借助表示论弥补这一缺陷：特别地，我们根据从一般线性群到对称群的分支重数确定了任意分量的维数。由此我们得到了 $\mathcal{P}(V)$ 上不变量环的双分次 Hilbert 级数表达式。最后我们给出若干使用图记法的例子，其中数个恢复了经典结果。