作用在 $\text{GL}(n,{\mathbb C})$-模上的辛群与正交群的不变量

设 $\text{GL}(n) = \text{GL}(n, {\mathbb C})$ 表示复一般线性群，令 $G \subset \text{GL}(n)$ 为经典复子群 $\text{O}(n)$、$\text{SO}(n)$ 和 $\text{Sp}(2k)$（当 $n = 2k$ 时）之一。取一个多项式 $\text{GL}(n)$-模 $W$ 并考虑其对称代数 $S(W)$。扩展此前针对 $G=\text{SL}(n)$ 的结果，我们开发了一种确定不变量代数 $S(W)^G$ 的 Hilbert 级数 $H(S(W)^G, t)$ 的方法。随后，我们给出了计算 $H(S(W)^G, t)$ 的明确示例。作为进一步应用，我们将该方法扩展用于计算不变量代数 $\Lambda(S^2 V)^G$ 和 $\Lambda(\Lambda^2 V)^G$ 的 Hilbert 级数，其中 $V = {\mathbb C}^n$ 表示标准 $GL(n)$-模。