圆不变量的Hilbert级数与$a$-不变量

设$V$是由权向量$\mathbf{a}\in\mathbb{Z}^n$确定的复圆$\mathbb{C}^\times$的有限维表示。我们根据$\mathbb{C}^\times$作用的权向量$\mathbf{a}$，研究多项式$\mathbb{C}^\times$-不变量分次代数$\mathbb{C}[V]^{\mathbb{C}_{\mathbf{a}}^\times}$的Hilbert级数$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$。特别地，我们给出了$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$的显式公式，以及$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$在$t=1$处Laurent展开的前四个系数。这些系数的朴素公式在权值两两相等时具有可去奇点。识别这些抵消后，Laurent系数用部分Schur多项式表示，该多项式在两个变量集合中独立对称。类似地，我们给出了在代数Gorenstein情况下$\mathbb{C}[V]^{\mathbb{C}_{\mathbf{a}}^\times}$的$a$-不变量的显式公式。作为一个应用，我们给出了识别具有Gorenstein和非Gorenstein不变量代数的权向量的方法。