等变 Hilbert 概形的拓扑

对于线性作用于 $\mathbb{A}^2$ 的有限群 $G$，等变 Hilbert 概形 $\operatorname{Hilb}^r[\mathbb{A}^2/G]$ 是 $\operatorname{Sym}^r(\mathbb{A}^2/G)$ 的一个自然奇点消解。本文研究当 $G$ 为阿贝尔群时 $\operatorname{Hilb}^r[\mathbb{A}^2/G]$ 的拓扑及其对群 $G$ 的依赖性。我们证明，当 $G$ 在 $GL_2$ 的某些阿贝尔子群族中变动时，$\operatorname{Hilb}^r[\mathbb{A}^2/G]$ 的拓扑不变量关于群 $G$ 的阶呈周期或拟多项式规律。这是通过利用 Bialynicki-Birula 分解，根据某类分拆的组合性质来计算拓扑不变量而得到的。