不变 Hilbert 概形与经典不变量理论

设 W 为一个装备有约化群 G 作用的仿射簇。不变 Hilbert 概形是一个模空间，用于分类 W 的 G-稳定闭子概形，使得其仿射代数是具有预先固定有限重数的单 G-模的直和。在本论文中，我们首先研究记为 H 的不变 Hilbert 概形。它参数化了 W=n1 V \oplus n2 V^* 的 GL(V)-稳定闭子概形 Z，使得 k[Z] 作为 GL(V)-模同构于 GL(V) 的正则表示。若 dim(V)<3，我们证明 H 是一个光滑簇，因此 Hilbert-Chow 态射 \gamma: H -> W//G 是商 W//G 的奇点解消。然而，若 dim(V)=3，我们证明 H 是奇异的。当 dim(V)<3 时，我们通过方程描述 H，并将其描述为两个 Grassmann 簇乘积上的齐次向量丛的全空间。接着，我们考虑辛情形，令 n1=n2 并将 W 替换为矩映射 \mu: W -> End(V) 的零纤维。我们研究参数化包含在 \mu^{-1}(0) 中的子概形的不变 Hilbert 概形 H'。我们证明 H' 总是可约的，但若 dim(V)<3，其主分量 Hp' 是光滑的。在此情况下，Hilbert-Chow 态射是商 \mu^{-1}(0)//G 的奇点解消（有时是辛解消）。当 dim(V)=3 时，我们将 Hp' 描述为旗簇上的齐次向量丛的全空间。最后，当我们用其他经典群 (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) 替换 GL(V)，并首先作用于 W=nV，然后作用于矩映射的零纤维时，我们得到了类似的结果。