协变模的 Stanley 分解

设 $H$ 为复约化群，具有有限维表示 $W$ 和 $U$。$W$ 的 $U$ 型协变模是所有 $H$ 等变多项式映射 $\varphi: W \longrightarrow U$ 构成的空间。在本文中，我们取 $H$ 为经典群 $\operatorname{GL}(V)$、$\operatorname{O}(V)$ 或 $\operatorname{Sp}(V)$ 之一，其中 $W$ 是 $V$ 和 $V^*$ 的若干拷贝的直和，而 $U$ 是任意有理表示（在 $H= \operatorname{O}(V)$ 情形下，$U$ 限于 $V$ 的外幂）。我们的主要结果给出了这些协变模的一致 Stanley 分解，其中 Stanley 空间由我们称之为“水母”的组合对象参数化。作为推论，我们将 Hilbert 级数写为有理函数的有限和，每一项都具有基于格路径的组合解释。值得注意的是，这些结果不依赖于模是 Cohen-Macaulay 的。我们进一步将这些方法应用于 $\operatorname{SL}(V)$ 和 $\operatorname{SO}(V)$ 的不变量环。我们的证明（针对 $H = \operatorname{GL}(V)$ 和 $\operatorname{Sp}(V)$）依赖于 Jackson 关于对偶约化对的标准单项式理论的先前工作，因为经典协变模可以通过 Howe 对偶被视为某个实约化群的酉最高权表示的 Harish-Chandra 模。作为将该计划扩展至任意酉最高权表示（包括例外群的表示）的第一步，我们针对 ADE 型 Wallach 表示一致地建立了类似结果。